Di UTBK SNBT, materi dimensi tiga mencakup pemahaman tentang ruang dalam tiga dimensi, termasuk konsep tentang titik, garis, bidang, sudut antara dua garis atau bidang, jarak antara dua titik, serta parameter ruang.
Soal-soal yang biasanya muncul dapat berkisar pada geometri ruang, persamaan bidang, jarak antara titik dengan bidang atau titik dengan titik, dan lain sebagainya. Kamu yang sedang mempelajari materi ini, bisa coba perhatikan 10+ contoh soalnya berikut ini!
Pengenalan Materi Dimensi Tiga UTBK
Dimensi tiga dalam matematika mencakup ruang yang memiliki tiga sumbu pengukuran panjang (x), lebar (y), dan tinggi (z). Dalam konteks UTBK, materi ini meliputi analisis dan perhitungan terkait titik, garis, bidang, dan bentuk-bentuk geometris dalam ruang tiga dimensi. Berikut dua rumus yang umum digunakan dalam materi dimensi tiga.
Rumus Mencari Jarak
Untuk mencari jarak antara dua titik A(x1,y1,z1) dan B(x2,y2,z2) gunakan rumus berikut:
Rumus Mencari Besar Sudut
Dalam dimensi tiga, kita seringkali memiliki vektor-vektor yang mewakili arah dan magnitude dari suatu objek atau pergerakan. Ketika kita ingin mengetahui sudut antara dua vektor ini, kita menggunakan konsep dot product atau produk titik.
Dot product antara dua vektor a dan b didefinisikan sebagai:
Di mana ∣a∣ dan ∣b∣ adalah magnitudonya, dan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut.
Untuk menemukan besar sudut θ, kita gunakan rumus:
Ini memberi kita nilai dari cosinus sudut antara vektor-vektor tersebut. Kemudian, dengan arccos (inverse cosine) kita dapat menemukan nilai sebenarnya dari sudut θ.
Contoh Soal Dimensi Tiga UTB dan Cara Mengerjakannya
Seperti yang sempat dijelaskan sebelumnya, materi dimensi tiga biasanya diterapkan di beberapa soal matematika UTBK SNBT. Simak 10+ contohnya berikut ini!
Materi Geometri Bangun Ruang
Geometri bangun ruang dalam dimensi tiga adalah cabang matematika yang mempelajari bentuk-bentuk tiga dimensi seperti kubus, balok, prisma, silinder, kerucut, dan bola. Dalam geometri ini, setiap bangun memiliki tiga ukuran dasar yaitu panjang, lebar, dan tinggi, yang menentukan volumenya dan luas permukaannya. Simak contoh soal geometri bangun ruang dimensi tiga berikut!
Contoh soal 1
Perhatikan gambar kubus berikut.
Kubus di atas memiliki panjang rusuk 12 satuan. X merupakan titik pada EF yang berjarak 8 satuan dari titik E. Sementara itu, titik Y merupakan perpotongan dari perpanjang garis AX dan perpanjangan garis BF. Jika Q merupakan sudut yang diapit oleh garis FG dan GY, maka nilai dari sin Q=…
- ½
- 1/5
Jawaban: D
Pembahasan:
Panjang YF
Segitiga XYF sebangun dengan segitiga AOX
EX = 8
XF = 12-8 =4
AO = 8
XO = 12
YF/XF=X0/A0
YF/XF=128
YF/XF=3/2
YF/4=32→YF=6
Panjang YG
Tinjau segitiga FGY
YF = 6
FG = 12
Contoh soal 2
Perhatikan gambar berikut.
Bangun di atas merupakan kubus dengan rusuk s. Di dalam kubus tersebut terdapat limas segiempat beraturan T.KLMN. T merupakan puncak limas dengan T = 3/5s.
K,L,M, dan N masing-masing merupakan titik tengah garis AB, BC, CD, dan DA.
Berdasarkan informasi tersebut, manakah hubungan antara kuantitas P dan Q berikut yang paling tepat?
- P 1/10 kali lebih besar dari Q
- P9/10 kali lebih besar dari Q
- P 9 kali lebih kecil dari Q
- P1/10 kali lebih kecil dari Q
- P=Q
Jawaban: C
Pembahasan:
Menentukan volume limas (P)
Luas alas (La) akan dicari terlebih dahulu
La = area yang dibatasi ruas-ruas garis berwarna biru pada gambar bawah.
Contoh soal 3
Perhatikan bangun di bawah ini
Apabila balok di atas akan dipotong agar menjadi beberapa kubus, maka seharusnya kubus dengan ukuran terbesar yang dapat dibentuk yaitu sebanyak …. kubus.
Jawaban: 16
Pembahasan:
Diketahui ukuran balok 80×10×20. Ukuran salah satu sisi terpendek balok tersebut adalah 10 yang mana menyebabkan ukuran kubus terbesar yang dapat dibuat adalah 10×10×10. Maka, banyaknya kubus dengan ukuran terbesar yang dapat dibentuk adalah:
80×10×20/10×10×10=8×1×2=16
Contoh soal 4
Sebuah balok mempunyai ukuran panjang yaitu 8 cm, ukuran lebar yaitu 6 cm, dan ukuran tinggi yaitu 4 cm. Berapakah luas permukaan balok tersebut?
- 112 cm²
- 136 cm²
- 208 cm²
- 214 cm²
Jawaban: C
Pembahasan:
Luas permukaan balok dihitung dengan rumus 2(pl+pt+lt), dimana p merupakan panjang, l merupakan lebar, dan t merupakan tinggi. Substitusi p=8 cm, l=6 cm, dan t=4 cm menghasilkan 2(8×6+8×4+6×4)=2(48+32+24)=2×104= 208 cm².
Contoh soal 5
Simak gambar berikut!
Cari jarak titik S ke garis CD!
Jawaban: 8 cm
Pembahasan:
Dari gambar tersebut, titik S diproyeksikan pada garis CD dan membentuk titik S’.
Jarak dari titik S ke garis CD sama dengan panjang garis S’, karena garis S’ sejajar dengan sisi kubus ABCD.EFGH.
Panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah 8 cm.
Jadi, jarak antara titik S dan garis CD adalah 8 cm.
Materi Geometri Analitis dalam Dimensi Tiga
Materi geometri analitis dalam dimensi tiga untuk UTBK SNBT mencakup pemahaman dan penerapan konsep-konsep dasar geometri dalam ruang tiga dimensi, termasuk sistem koordinat kartesius (x, y, z), vektor, dan operasinya (seperti penjumlahan, pengurangan, dot product, dan cross product).
Contoh soal 1
Diketahui dua vektor v⃗=3i−4j+5k dan u⃗=2i+j−3k. Berapakah hasil perkalian titik dari kedua vektor tersebut?
a. -8
b. 8
c. 10
d. -10
Jawaban: A
Pembahasan:
Hasil perkalian titik dari dua vektor v⃗ dan u⃗ dapat dihitung dengan rumus v⃗⋅u⃗ =(3)(2)+(−4)(1)+(5)(−3). Substitusi nilai-nilai komponen vektor menghasilkan (6)+(−4)+(−15)=−8.
Contoh soal 2
Diketahui dua vektor a⃗=2i+3j+k dan b⃗=−i+4j+2k. Berapakah hasil perkalian titik dari kedua vektor tersebut?
- 12
- 13
- 14
- 15
Jawaban: B
Pembahasan:
Hasil perkalian titik (dot product) dua vektor a⃗ dan b⃗ dihitung dengan rumus: a⃗⋅b⃗=(2)(−1)+(3)(4)+(1)(2)
a⃗⋅b⃗=−2+12+2
a⃗⋅b⃗=12−2+2
a⃗⋅b⃗=13
Contoh soal 3
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik P(2,−1,3) dan tegak lurus terhadap vektor n⃗=1i+2j−2k.
- x+2y−2z=7
- x+2y−2z=−3
- x+2y−2z=3
- x+2y−2z=−7
Jawaban: D
Pembahasan:
Persamaan bidang yang melalui titik (x1,y1,z1) dan tegak lurus terhadap vektor n⃗=ai+bj+ck dapat dituliskan sebagai: a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0. Substitusi nilai a=1, b=2, c=−2, dan titik P(2,−1,3):
1(x−2)+2(y+1)−2(z−3)=0
x−2+2y+2−2z+6=0
x+2y−2z+7=0
Jadi, jawabannya adalah x+2y−2z=−7
Materi Dimensi Tiga di Kehidupan Sehari-hari
Materi dimensi tiga dalam kehidupan sehari-hari meliputi berbagai konsep geometri yang berhubungan dengan objek dan ruang tiga dimensi. Simak beberapa contoh soalnya berikut!
Contoh soal 1
Sebuah lemari memiliki dimensi 2 meter (tinggi), 1 meter (lebar), dan 0.5 meter (kedalaman). Berapa volume ruang dalam lemari tersebut?
Jawaban: 1 meter kubik
Pembahasan:
Volume V diperoleh dengan mengalikan panjang, lebar, dan kedalaman:
V= panjang×lebar×kedalaman
V=2 m×1 m×0.5 m
V=2×1×0.5
V=1 m3
Jadi, volume ruang dalam lemari tersebut adalah 1 meter kubik atau 1 m3.
Contoh soal 2
Sebuah bak air memiliki bentuk kubus dengan panjang sisi 1 meter. Berapa liter air yang dapat ditampung dalam bak tersebut?
A. 1000 liter
B. 500 liter
C. 100 liter
D. 1 liter
E. 10 liter
Pembahasan:
Untuk menghitung volume bak air yang berbentuk kubus, kita menggunakan rumus volume kubus:
Volume V kubus dengan panjang sisi s diberikan oleh:
V=s3
Dalam kasus ini, panjang sisi s=1 meter. Substitusi nilai s ke dalam rumus volume:
V=13
V=1 meter3
Satu meter kubik (1 m3) sama dengan 1000 liter. Jadi, volume bak air dalam liter adalah:
V=1000 liter
Jadi, jawaban yang benar adalah:
A. 1000 liter
Sehingga, bak air dengan bentuk kubus dan panjang sisi 1 meter dapat menampung 1000 liter air.
Contoh soal 3
Sebuah bola lampu memiliki diameter 10 cm. Hitunglah luas permukaan bola lampu tersebut.
Jawaban: 314 cm2
Pembahasan:
Untuk menghitung luas permukaan bola lampu, kita perlu menggunakan rumus luas permukaan bola, yang diberikan oleh:
A=4πr2
di mana r adalah jari-jari bola. Dalam kasus ini, kita diberikan diameter bola lampu, yang artinya jari-jarinya adalah separuh dari diameter:
1. Hitung jari-jari bola lampu:
r=diameter/2=10 cm/2=5 cm
2. Substitusi nilai jari-jari ke dalam rumus luas permukaan bola:
A=4π(5 cm)2
A=4π×25 cm2
A=100π cm2
3. Hitung nilai numerik dari luas permukaan:
A≈100×3.14
A≈314 cm2
Jadi, luas permukaan bola lampu dengan diameter 10 cm adalah sekitar 314 cm2.
Yuk Latihan Soal UTBK Lebih Banyak di Skuling!
Temukan soal dimensi tiga dan soal matematika lainnya hanya di Skuling.id. Skuling merupakan website untuk belajar UTBK gratis. Hampir mirip dengan aplikasi bank soal UTBK, kamu bisa menemukan ribuan soal yang up to date, variatif dan komprehensif di Skuling.
Skuling dirancang dengan antarmuka yang ramah, kamu bisa mengerjakan kapan dan dimana saja sesuai dengan mood belajarmu. Belajar lebih menyenangkan dengan progress yang tetap terarah.
Tak hanya itu, website yang bisa kamu gunakan untuk try out UTBK SNBT ini memiliki fitur leaderboard regional dan nasional yang bisa memonitori hasil belajarmu. Kamu bisa lihat posisi nilai di antara ribuan pengguna lainnya. Hal ini bisa meningkatkan motivasi belajar.
Skuling juga memiliki fitur blog yang berisi informasi penting mengenai ujian masuk kampus impian, termasuk persiapan UTBK seperti contoh soal SNBT matematika, terdapat juga informasi mengenai beasiswa dalam dan luar negeri, dan tips bertahan di dunia kampus. Tunggu apalagi? Yuk segera sign up di Skuling dan rasakan manfaat dari berbagai fitur-fiturnya. Selamat mencoba!