Integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika tingkat lanjut yang sering digunakan dalam berbagai bidang, mulai dari fisika hingga ekonomi. Bagi banyak pelajar dan mahasiswa, integral dapat menjadi topik yang sangat menantang. Namun, kalau kamu memiliki pemahaman yang baik tentang berbagai jenis rumus integral dan cara menerapkannya, kamu dapat menguasai konsep integral.
Bagi kamu yang belum terbiasa dengan konsep integral, dalam artikel ini kita akan menjelajahi macam-macam rumus integral disertai dengan contoh soal dan panduan langkah demi langkah untuk mengerjakannya.
Rumus-rumus Integral
1. Integral tentu
Integral tentu biasanya digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva suatu fungsi dalam rentang tertentu. Misalnya, integral tentu digunakan untuk menghitung luas area yang tidak beraturan.
Sebelum masuk ke dalam rumus integral tentu, kamu harus mengerti terlebih dahulu bentuk integral yang dapat kita notasikan dengan:
Di mana, fungsi f(x) akan diintegrasikan dengan variabel x – dx. Sehingga, notasi integral tentu bisa kita baca dengan integral dari f(x) terhadap dx, dari a sampai b.
Setelah kamu memahami hakikat dan notasi dari integral tentu, sekarang kamu akan mempelajari rumus integral tentu. Di bawah ini adalah rumus integral tentu:
Kamu dapat membacanya: integral dari f(x) terhadap dx dari nilai a sampai dengan b adalah F(b) – F(a). Dengan begitu, F’(x) adalah turunan fungsi yang bernilai f(x).
Hasil yang didapat dari rumus integral tentu adalah suatu angka yang pasti.
Supaya kamu lebih paham mengenai rumus integral tentu, kamu perlu mengenali beberapa sifat yang dimiliki oleh integral tentu. Beberapa sifat tersebut bisa kamu lihat di bawah ini:
Bagaimana SkulChamps? Memang agak rumit, ya, melihat sifat integral tentu dengan simbol di atas? Namun, kamu tenang saja, kamu tidak perlu menghafal seluruh sifat integral tentu tersebut sebab kamu hanya perlu menguasai konsep dan cara kerja dari integral sehingga kamu bisa lebih sat-set untuk bisa menyelesaikan kasus atau soal integral, lho!
2. Integral tak tentu
Kebalikannya, integral tak tentu adalah turunan (diferensial). Jika turunan adalah proses mencari kemiringan suatu fungsi, integral tak tentu ini adalah proses mencari fungsi asal dari suatu turunan. Sehingga notasi dari integral tak tentu dapat dituliskan menjadi:
Integral tak tentu juga memiliki beberapa sifat yang dapat kamu gunakan, lho, SkulChamps! Ada tiga sifat dari integral tak tentu yang dapat mempermudahmu untuk memecahkan soal integral tak tentu, berikut adalah sifat dari integral tak tentu:
- Sifat Perpangkatan
- Sifat Penjumlahan atau Pengurangan
- Konstanta
Sekali lagi, kamu tidak perlu menghafal seluruh sifat integral tak tentu ini, ya, SkulChamps! Kamu hanya perlu mengerti dengan konsep integral dan cara kerja integral supaya kamu bisa lebih mahir dalam memecahkan soal-soal integral.
3. Integral parsial
Integral parsial merupakan teknik yang digunakan untuk menghitung integral yang sulit menjadi integral yang mudah untuk diselesaikan. Umumnya, rumus dasar yang digunakan dalam integral parsial adalah:
Di sini, u dan v adalah dua fungsi berbeda yang kita pilih dari integran aslinya. Supaya kamu lebih mudah memahaminya, mari kita pelajari bersama mengenai integral parsial.
4. Integral pecahan
Jenis integral ini adalah proses menghitung integral dari fungsi yang berbentuk pecahan. Perlu kamu ketahui bahwa integral pecahan tidak memiliki satu rumus tunggal yang berlaku untuk semua kasus soal, karena bentuk pecahan bisa sangat bervariasi.
Oleh karenanya, ada beberapa rumus dan metode standar yang digunakan untuk menyelesaikan integral pecahan, seperti rumus dasar, metode integral parsial, dan metode substitusi.
Secara sederhana, jika kamu memiliki pecahan seperti:
Kamu dapat memisahkan fungsi-fungsi tersebut menjadi lebih sederhana. Agar kamu lebih paham, kamu dapat melihat contoh integral pecahan di bawah, ya, SkulChamps!
5. Integral trigonometri
Integral trigonometri adalah cara menghitung luas di bawah kurva fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, dan lainnya. Ada beberapa rumus-rumus dasar dari integral trigonometri, di antaranya:
Kamu perlu mengingat rumus tersebut agar lebih mudah mengerjakan integral trigonometri. Supaya kamu lebih paham, maka kamu perlu memerhatikan contoh soal integral trigonometri di bawah ini, ya, SkulChamps!
Contoh Soal Integral dan Pembahasan
Supaya kamu lebih paham mengenai konsep integral, berikut adalah beberapa contoh soal integral lengkap dengan pembahasannya yang akan muncul di UTBK matematika:
1. Contoh Soal Integral Tentu
Tentukan nilai dari:
Jawab:
Kamu dapat melihat bahwa f(x) sudah mendapatkan batas, yakni 2 dan 3. Langkah selanjutnya adalah memasukkan batas-batas tersebut ke dalam rumus fungsi, sehingga:
Maka hasil dari notasi soal integral di atas adalah -6.
Tentukan nilai dari:
Jawab:
Langkah pertama, kamu harus mengintegralkan fungsi dx terlebih dahulu, sehingga:
Kamu dapat melihat bahwa f(x) sudah mendapatkan batas, yakni 3 dan 1. Langkah selanjutnya adalah memasukkan batas-batas tersebut ke dalam rumus fungsi, sehingga:
Maka hasil dari notasi soal integral di atas adalah 80.
2. Contoh Soal Integral Tak Tentu
Tentukan nilai dari:
Jawab:
Langkah pertama, kamu bisa menggunakan sifat perpangkatan integral tak tentu, sehingga:
Sehingga, hasil dari notasi integral tak tentu pada soal di atas adalah 2x3 + C.
Tentukan rumus fungsi dari turunan berikut:
Jawab:
Langkah pertama, kamu harus mengintegralkan f’(x) = 8x – 5, sehingga:
Setelah kamu mendapatkan hasil integral dari fungsi tersebut, masukkan fungsi f(2) = 2, sehingga kamu akan mendapatkan hasil:
Kamu telah mendapatkan nilai konstanta atau C = 8, maka rumus fungsi yang kamu dapatkan adalah:
3. Contoh Soal Integral Parsial
Tentukan nilai dari persamaan integral berikut:
Jawab:
Langkah pertama, kamu bisa mensubstitusikan fungsi-fungsi tersebut menjadi:
Dengan begitu, kamu akan mendapatkan persamaan:
Kemudian kamu dapat menyederhanakannya menjadi:
Lalu, selanjutnya kamu dapat mensubstitusikan u = x+3, sehingga
Mari coba selesaikan soal integral parsial berikut ini:
Jawab:
Langkah pertama, kamu bisa mensubstitusikan fungsi tersebut menjadi:
Dengan rumus integral parsial, maka kita dapat memperoleh:
Maka,
Sehingga, hasil yang diperoleh dari persamaan soal di atas adalah
4. Contoh Soal Integral Pecahan
Mari selesaikan contoh soal integral pecahan di bawah ini bersama-sama!
Jawab:
Langkah pertama, kamu perlu menyederhanakan bentuk x2-1 dan membaginya menjadi pecahan seperti di bawah ini:
Sehingga, kamu dapat memperoleh:
Kamu perlu mencari nilai A dan B, sehingga, jika:
Setelah kamu mendapatkan nilai A dan B, maka langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan nilai A dan B ke dalam persamaan:
Untuk mempermudah, kamu dapat membuat permisalan:
Kemudian, substitusikan nilai tersebut ke dalam persamaan, maka:
Sehingga, jawaban dari persamaan soal di atas adalah
5. Contoh Soal Integral Trigonometri
Kamu perlu mengingat bahwa:
Sehingga, hasil dari persamaan integral trigonometri di atas adalah:
Tips Mengerjakan Soal Integral
Bagaimana, SkulChamps? Mudah atau rumit, nih? Memang tampaknya tidak sederhana sebab Integral dapat diselesaikan dengan berbagai metode, tergantung pada karakteristik fungsi yang diintegralkan.
Metode paling mendasar adalah menggunakan aturan pangkat, yang efektif untuk fungsi polinomial sederhana. Untuk integral tentu, di mana batas atas dan bawah ditentukan, hasilnya berupa nilai numerik spesifik.
Sebaliknya, integral tak tentu menghasilkan sebuah fungsi baru yang disertai dengan konstanta integrasi, mewakili keluarga fungsi yang memenuhi syarat integral tersebut. Kamu perlu banyak berlatih agar bisa lebih sat-set mengerjakan soal-soal integral.
Yuk, Kerjakan Lebih Banyak Latihan Soal di Skuling!
Supaya kamu lebih mahir lagi dalam mengerjakan soal integral, pastinya kamu harus berlatih lebih banyak soal! Latihan soal bisa didapatkan dari berbagai sumber dan salah satunya adalah aplikasi belajar online Skuling.
Skuling menghadirkan ribuan latihan soal mulai dari paling mudah hingga paling sulit. Kamu bisa menantang (challenge) diri kamu untuk bisa menaklukkan berbagai tipe soal.
Fitur menarik pun disediakan Skuling untuk bisa bantu kamu upgrade nilai lebih optimal lagi. Fitur seperti insight, leaderboard, hingga perkiraan jurusan kuliah akan sangat membantu kamu dalam mempersiapkan UTBK SNBT atau ujian mandiri lainnya.
Gak cuman itu aja, Skuling juga menyajikan informasi terkini seputar UTBK SNBT, ujian mandiri, hingga beasiswa. Jadi, kamu tidak perlu khawatir ketinggalan info terbaru, ya!
0 Komentar